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1△OAFは直角三角形で,∠OAF=θ,AF=1 であるから点A,Fの座標はそれぞれ cosθ,0,0,sinθである。正六角形Hは一辺が1の長さの正三角形6つより成ることにより, FC=2 である。∠AFC=60°,∠AFO=90°-θ であるから,∠OFC=60°+90°-θ=150°-θ線分FCとx軸の正の方向とのなす角は∠OFCと90°の差であるから 60°-θ である。点Fの座標が0,sinθであり,線分FCの長さが2,x軸とのなす角が60°-θであることを考えると,点Cの座標は2cos60°-θ,sinθ+2sin60°-θ である。同様に点Aの座標がcosθ,0,AD=2,線分ADとx軸の正の方向とのなす角がθ+60°であることを考えると,点Dの座標はcosθ-2cosθ+60°, 2sinθ+60°である。2この正六角形Hが,ある正方形内に入るとき,点AとDのy座標の差をp, 点BとEのx座標の差q とすると,この正方形の一辺の長さはp以上であり,q以上でもある。AD=2,線分ADとx軸の正の方向とのなす角がθ+60°であることよりp=2sinθ+60°であり, BE=2,BE∥AF より q=2cosθ である。ADがy軸と平行になるθ=30°のとき,p=2,q=√3 である。θが30°から少しずつ増加するとpは減少し,qは増加する。したがって,正六角形Hが入る正方形の一辺が最小のとき p=q となる。このとき, 2sinθ+60°=2cosθ三角関数の加法定理を用いて整理すると, sinθ+√3-2cosθ=0三角関数の合成を用いると、 8-4√3sinθ+α=0 ただし、cosα=1/8-4√3、sinα=√3-2/8-4√3sinθ+α=0、すなわち θ=-α のとき p=q となりこれが求める正方形の一辺の長さとなる。cosα=1/8-4√3、であり θ=-α、cos-α=cosα、q=2cosθ であるから求める正方形の一辺の長さは 2/8+4√3 = 1+√3/2

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