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zの共役複素数をz*と表します。1ド?モアブルの定理から、α^6=cosθ+isinθ^6=cos6θ+isin6θ=cos6θ-360°+isin6θ-360°6θ-360°=-360°/7=-θ だから、α^6=cos-θ+isin-θ=cosθ-isinθ=α*21 と同様にして、α^5=α^2*, α^3=α^4*β+β*=α+α^2+α^4+α+α^2+α^4*=α+α^2+α^4+α^6+α^5+α^3=α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6=1+α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6-1={1-α^7/1-α}-1=-1 ∵α^7=cos360°+isin360°=1ββ*=α+α^2+α^4α+α^2+α^4*=α+α^2+α^4{α^-1+α^-2+α^-4}=1+1+α^-3+α^-2+α^-1+1+α+α^2+α^3=2+α^-3?1-α^7/1-α=23sinθ+sin2θ+sin4θ=β-β*/2i だから、両辺を二乗して、{sinθ+sin2θ+sin4θ}^2=-β-β*^2/2=-{β+β*^2-4ββ*}/2=-{-1^2-4?2}/2=√7/2sinθ0, sin2θ0, sinθsin4θ だから、sinθ+sin2θ+sin4θ0∴sinθ+sin2θ+sin4θ=1/2√7

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